Прежде чем приступить к решению задач, повтори теоретический материал.
ПРИМЕР 1 В7 (демо 2013г)
Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?
Решение:
При переводе числа из десятичной системы в другую, мы делим десятичное число на основание другой системы счисления.
Первый остаток от деления - это последняя цифра числа в этой системе счисления. Чтобы в остатке был 0, мы должны подобрать десятичное число, которое будет кратно основанию системы счисления, в которую переводим. Для системы с основанием 3, такими числами могут быть: 3, 6, 9 и т.д. Для системы с основанием 5 - 5, 10, 15 и т.д.
По заданию, число должно быть минимально, поэтому для системы с основанием 3 - это число 3, а с основанием 5 - это число 5.
3|3 5|5
3 1 5 1
0 0
310=103 и 510=103
Чтобы остаток числа был равен 0-ю в обеих системах счисления (с остатком 3 и 5), десятичное число должно быть кратно числам: 3 и 5.
3*5=15 - это и есть искомое десятичное число.
15|3 15|5
15 5 15 3
0 0
1510=503 и 1510=305
Ответ 15
ПРИМЕР 2 B8 (демо ЕГЭ 2012)
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение:
Начнем с двоичной системы. Для хранения числа 67 необходимо 7 цифр, т.к. 64<67<128. 128=27.
Троичная система. Для хранения числа 67 нужно 4 цифры, т.к. 27<67<81. 81=34. Следовательно, троичная система удовлетворяет условию: "число содержит 4 цифры". Теперь необходимо проверить,удовлетворяет данная система условию: "число оканчивается на 1". Для этого нужно перевести 6710 в троичную систему. Но полный перевод делать не надо,т.к. нас интересует только первый остаток, на него и будет оканчиваться 67 в троичной системе.
|
67 |
1 |
|
22 |
|
Остаток равен 1. Следовательно, и второе условие выполнено, поэтому троичная система подходит. Основание троичной системы равно 3.
Ответ 3
Пример 3 Разбор задачи B3 (демо ЕГЭ 2009)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.
Решение:
Искомые числа в 4-чной системе счисления могут содержать только 3 цифры,т.к. 16<25<64. 64=43.
Обозначим последнюю цифру в 4-ной системе как y.Первые две цифры равны 1,т.к. по условию задачи цифра заканчивается на 11. Искомые десятичные числа обозначим как х.
х=16*y+4*1+1=16*y+5.
Пусть у=0. Тогда х=0+4+1=5.
Пусть у=1.Тогда х=16+4+1=21.
Пусть у=2.Тогда х=32+4+1=37-не подходит,т.к. х≤25.
Поэтому искомые числа: 5,21.
Ответ: 5,21